Criterio Integral

**Alx** Miér Ago 12, 2009 11:42 am

Si f(x) es una función monótonamente decreciente, siempre positiva, entonces la serie
$Criterio Integral A7fb4c73710faacb784c1fc9715a8c3c$
converge si y solo si la integral
$Criterio Integral 7d8f8a3f84d9b925bfd69124a40d1a74$
converge.
P. ej., consideremos f(x)=1/x^p, para p fijo.
Si p=1 esta es la serie armónica, que diverge. Si p<1 cada término es mayor que la serie armónica, luego diverge. Si p>1 entonces
$Criterio Integral Befc40165d085a4cfbce6c838234b9df$
La integral converge, para p>1, luego la serie converge.
Podemos probar que la prueba funciona escribiendo la integral como
$Criterio Integral D7432ad14207c82666a10eb0cda16113$
y comparando cada una de las integrales con rectángulos, dando las desigualdades
$Criterio Integral A9bb3fe7a26523d7b0f6065ac89ce23b$
Aplicando entonces estas a la suma demuestra la convergencia.