Criterio Integral

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Criterio Integral

Mensaje  Alx el Miér Ago 12, 2009 11:42 am

Si f(x) es una función monótonamente decreciente, siempre positiva, entonces la serie

converge si y solo si la integral

converge.
P. ej., consideremos f(x)=1/xp, para p fijo.
Si p=1 esta es la serie armónica, que diverge. Si p<1 cada término es mayor que la serie armónica, luego diverge. Si p>1 entonces

La integral converge, para p>1, luego la serie converge.
Podemos probar que la prueba funciona escribiendo la integral como

y comparando cada una de las integrales con rectángulos, dando las desigualdades

Aplicando entonces estas a la suma demuestra la convergencia.

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