Criterio Convergencia Absoluta

Convergencia


Es obvio que para que una serie converja, los a_n deben tender a cero, pero esto no es suficiente. Consideremos la serie armónica, la suma de 1/n, y agrupemos los términos

Cuando m tiende a infinito, también lo hace la suma final, por lo tanto la serie diverge.
Podemos también deducir algo sobre cuán rápidamente diverge. Usando
el mismo agrupamiento de términos, podemos obtener un límite superior
de la suma de los primeros términos, las sumas parciales.

o

y las sumas parciales aumentan como log m, muy lentamente.
Notemos que para descubrir esto, comparamos los términos de la serie armónica con una serie que sabíamos divergente.
Esto es una prueba de convergencia (también conocida como prueba directa de comparación) que podemos aplicar a cualquier par de series.

• Si b_n converge y |a_n|≤|b_n| entonces a_n converge.
  
• Si b_n diverge y |a_n|≥|b_n| entonces a_n diverge.
  

Existen muchas de tales pruebas, las más importantes de las cuales describiremos en este capítulo.

Convergencia absoluta


Teorema: Si la serie de valores absolutos, , converge, entonces también lo hace la serie
Decimos que tal serie es absolutamente convergente o que converge absolutamente.
El recíproco no es cierto. La serie 1-1/2+1/3-1/4... converge, aunque la serie de sus valores absolutos diverge.
Una serie como esta que converge, pero no absolutamente, se dice que es condicionalmente convergente o que converge condicionalmente.
Si una serie converge absolutamente, podemos sumar los términos en
cualquier orden que queramos y el límite será siempre el mismo. Si
converge una serie condicional, el cambio de los términos cambia el
límite.
De hecho, podemos hacer que la serie converge a cualquier límite que
deseemos eligiendo un cambio conveniente. P.ej., en la serie
1-1/2+1/3-1/4..., podemos sumar solamente términos positivos hasta que
la suma parcial excede de 100, restamos el 1/2, sumamos solamente
términos positivos hasta que la suma parcial excede de 100, restamos
1/4, etcétera, consiguiendo una secuencia con los mismos términos que
converja a 100.
Esto hace que sea más fácil trabajar con una serie absolutamente
convergente. Así, todas excepto una de las pruebas de convergencia en
este capítulo serán para series cuyos términos sean todos positivos,
que deben ser series absolutamente convergentes o divergentes. La otra
serie será estudiada considerando la serie correspondiente de valores
absolutos.