Series Numeros Complejos

Series numéricas














Describiremos aquí solo el tercer ejemplo. Una ojeada rápida al término
basta para comprobar que éste es el ésimo
polinomio de Taylor de la función en ,
es decir





Probemos que tiende a para todo
.
Usando la fórmula de Lagrange para el resto tenemos que





Pero si
, entonces tiende a 0, luego

. Esta serie es un ejemplo de las series de potencias que
estudiaremos más adelante.

El Criterio de Cauchy para las sucesiones establece que una sucesión es convergente
si y sólo si
tal que si y entonces .
Una simple aplicación del mismo a la sucesión de sumas parciales nos
conduce a nuestro primer criterio de convergencia para las series.





Este teorema tiene dos consecuencias inmediatas: la primera
es que si alteramos un número finito de elementos de la serie, la convergencia de ésta
no se afecta; y la segunda es el siguiente resultado: