Series Numeros Complejos

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Series Numeros Complejos

Mensaje  Alx el Mar Sep 29, 2009 11:48 am

Series numéricas














Describiremos aquí solo el tercer ejemplo. Una ojeada rápida al término
basta para comprobar que éste es el ésimo
polinomio de Taylor de la función en ,
es decir





Probemos que tiende a para todo
.
Usando la fórmula de Lagrange para el resto tenemos que





Pero si
, entonces tiende a 0, luego

. Esta serie es un ejemplo de las series de potencias que
estudiaremos más adelante.

El Criterio de Cauchy para las sucesiones establece que una sucesión es convergente
si y sólo si
tal que si y entonces .
Una simple aplicación del mismo a la sucesión de sumas parciales nos
conduce a nuestro primer criterio de convergencia para las series.





Este teorema tiene dos consecuencias inmediatas: la primera
es que si alteramos un número finito de elementos de la serie, la convergencia de ésta
no se afecta; y la segunda es el siguiente resultado:

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