Series Conceptos Basicos

Series

Dada la sucesión {an} la serie formada por los términos de dicha
sucesión se representa como : å an y corresponde a la suma de todos los
términos de la sucesión.
Carácter de una serie.

• Convergente : Cuando la suma es un número real.
  
• Divergente : Cuando la suma da + o - infinito.
  
• Oscilante : Cuando no es ninguna de las anteriores.
  

Suma de una serie geométrica. Sn = a + ar1 + ar2 + ar3 + .....+ arn-1 + arn + arn+1

• |R| < 1 Serie convergente
  
• R £ -1 Serie oscilante
  
• R ³ 1 Serie divergente
  

Propiedades generales de las series numéricas

• å an = S entonces å K an = K S Solo si k es nº real distinto de 0
  
• Si å an es divergente no podemos saber nada.
  
• 
  
• Al
  suprimir añadir o modificar un número finito de términos de una serie
  el carácter de una serie no se modifica, si bien cuando la serie sea
  convergente la suma puede serse alterada.
  
• 
  
• 
  

Condición necesaria para la convergencia: Sea : å an Calculamos :

• Si k = 0 la serie converge o diverge (Continuar el problema)
  
• Si k ¹ 0 la serie diverge (Fin del problema)
  

Convergencia de series con solo términos positivos

• Teorema 1 :Toda serie de términos positivos es convergente o divergente, pero nunca oscilante.
  
• Teorema 2 :
  Alterando arbitrariamente el orden de los términos, descomponiendo
  arbitrariamente cada uno de los sumandos, no se altera el carácter de
  la serie, ni varía su suma.
  
• 
  
• Criterio de Cauchy o de la Raíz. Calculamos :
  
• Si k < 1 la serie converge (Fin)
  
• Si k > 1 la serie diverge (Fin)
  
• Si k = 1 no sabemos (Continuar)
  
• Funciona con : ( )n , ( )p(n)
  
• Criterio de D’Alembert o del cociente. Calculamos :
  
• Si k < 1 la serie converge (Fin)
  
• Si k > 1 la serie diverge (Fin)
  
• Si k = 1 no sabemos (Continuar)
  
• Funciona con : kn , n ! , Semifactoriales ( 1·3·5 · · · · · (2n+1)).
  
• Criterio de Raabe. Calculamos :
  
• Si k < 1 la serie diverge (Fin).
  
• Si k > 1 la serie converge (Fin).
  
• Si k = 1 no sabemos (Continuar).
  
• Funciona cuando el criterio de la raíz o el cociente sale 1
  
• Criterio del Logaritmo. Calculamos :
  
• Si k < 1 la serie diverge (Fin).
  
• Si k > 1 la serie converge (Fin).
  
• Si k = 1 no sabemos (Continuar).
  
• Nota : El logaritmo puede estar en cualquier base.
  
• Criterio de comparación. Sea : å an £ å bn
  
• Si å an diverge entonces å bn diverge.
  
• Si å bn converge entonces å an converge.
  
• Criterio de comparación por paso al límite.
  
• Buscamos el carácter de å an y sabemos el carácter de å bn. Entonces :
  
• Si k ¹ 0 y k ¹ ∞ entonces ambas series tienen el mismo carácter.
  
• Si k = 0 y si å bn converge entonces å an converge.
  
• Si k = ∞ y si å bn diverge entonces å an diverge.
  
• Series de comparación
  
• S. Geométrica : a + a r + a r2 + a r3 + ... + a rn
  
• Si |r| < 1 serie convergente
  
• Si |r| ³ 1 serie divergente
  
• S. Armónica general : 1/(1p)+ 1/(2p) + 1/(3p) +....+1/(np)
  
• Si p > 1 serie convergente
  
• Si p £ 1 serie divergente
  
• Criterio de Prinsheim : Calculamos :
  
• Si a > 1 la serie converge
  
• Si a £ 1 la serie diverge
  
• Nota : Criterio de comparación con la serie armónica general camuflado
  

Convergencia de series con términos cualesquiera

• Sea : å an . Estudiamos : å |an| y å an
  
• Si å |an| converge (sus términos son positivos) decimos que å an converge absolutamente y que, por lo tanto, converge (Fin)
  
• Si å |an| diverge entonces puede ocurrir que:
  
• å an converge. Se dice que la serie converge condicionalmente.
  
• å an diverge. La serie es incondicionalmente divergente.
  
• En toda serie absolutamente convergente se puede alterar arbitrariamente el orden de los términos sin que altere su suma.
  
• En
  toda serie es absolutamente convergente que tenga valores positivos y
  negativos la serie de términos positivos y la serie de términos
  negativos serán convergentes por separado.
  

• 
  
• Teorema de Leibniz : una serie alternada es convergente si se cumple las siguientes condiciones :
  
• Es monótona decreciente en valores absolutos y
  
• El limite en el infinito es 0 (Lim an = 0)
  
• Criterio de Dirichet (Para series alternadas) Dado å an = å bn cn
  
• å an converge si se cumplen las siguientes condiciones, de no cumplirse es divergente :
  
• Si bn está totalmente acotada y
  
• {cn} una sucesión monótona decreciente que convergen en 0
  
• Criterio de Abel. Dado å an = å bn cn, entonces å an converge si :
  
• å bn de números reales, converge.
  
• {cn} es una sucesión monótona decreciente y acotada.
  
• 
  

Operaciones con series

• Dadas
  å an y å bn convergentes de sumas a y b respectivamente entonces se
  verifica que : å an ± bn es también convergente y su suma es : a ± b.
  
• Sea la serie å pn formada por :
  

pn = a1 bn + a2 bn-1 + a3 bn-2 + ..... + an-2 b3 + an-1 b2 + an b1
La serie así definida en la que å an y å bn son convergentes y una al
menos es absolutamente convergente, en ese caso la serie å pn es
convergente y su suma es a·b.