Series Telescopicas

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Series Telescopicas

Mensaje  Alx el Miér Ago 12, 2009 11:41 am

Una suma se llama
telescópica cuando es de alguna de las siguientes formas





Examinaremos la primera,
siendo la segunda enteramente análoga.





Los paréntesis se han
colocado solamente para mostrar cómo aparece cada sumando, y quitándolos se hace
más evidente que entre primer y segundo grupo mueren juntos

con su opuesto

; también se van juntos

con

.
Aunque no se muestra todo, el

del tercer grupo se cancela con el

del grupo inmediato. Tampoco se “ve”, pero se siente, que el

del penúltimo grupo se cancela con su inmediato
izquierdo . Por fin,
el

se cancela con su vecino

. Luego de tanta cancelación, solamente quedan
dos sobrevivientes: los extremos

y

, que no tienen con quién cancelarse. En definitiva,
nos queda


Si tenemos presente cómo
queda un telescopio al plegarlo o desplegarlo, se entiende la razón por las que
estas sumas se llaman telescópicas.


Para “sentir” esta última
forma, más que recurrir a la memoria (que puede traicionarnos), resulta quizá
más sencillo imaginar las sumas y luego sus cancelaciones.



Ejemplo
1.






es una suma telescópica,
y mirándola en detalle podremos luego cancelar, comprobando que





O
sea:





Ejemplo
2.
Probemos que es
telescópica (aunque de entrada no se note) , la siguiente suma.




Con
una sencilla cuenta comprobamos que



,
con lo cual










Así hemos obtenido
prácticamente gratis la fórmula de condensación





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