By: Alx
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Mensaje  Alx Miér Ago 12, 2009 11:41 am

Una suma se llama
telescópica cuando es de alguna de las siguientes formas


Series Telescopicas EmptySeries Telescopicas Eq0001M


Examinaremos la primera,
siendo la segunda enteramente análoga.


Series Telescopicas Eq0002PSeries Telescopicas Empty


Los paréntesis se han
colocado solamente para mostrar cómo aparece cada sumando, y quitándolos se hace
más evidente que entre primer y segundo grupo mueren juntos

Series Telescopicas EmptySeries Telescopicas Eq0003MSeries Telescopicas Eq0003PSeries Telescopicas Empty con su opuesto

Series Telescopicas EmptySeries Telescopicas Eq0004MSeries Telescopicas Eq0004PSeries Telescopicas Empty; también se van juntos

Series Telescopicas EmptySeries Telescopicas Eq0005MSeries Telescopicas Eq0005PSeries Telescopicas Empty con

Series Telescopicas EmptySeries Telescopicas Eq0006MSeries Telescopicas Eq0006PSeries Telescopicas Empty.
Aunque no se muestra todo, el

Series Telescopicas EmptySeries Telescopicas Eq0007MSeries Telescopicas Eq0007PSeries Telescopicas Empty del tercer grupo se cancela con el

Series Telescopicas EmptySeries Telescopicas Eq0008MSeries Telescopicas Eq0008PSeries Telescopicas Empty del grupo inmediato. Tampoco se “ve”, pero se siente, que el

Series Telescopicas EmptySeries Telescopicas Eq0009MSeries Telescopicas Eq0009PSeries Telescopicas Empty del penúltimo grupo se cancela con su inmediato
izquierdo . Por fin,
el

Series Telescopicas EmptySeries Telescopicas Eq0010MSeries Telescopicas Eq0010PSeries Telescopicas Empty se cancela con su vecino

Series Telescopicas EmptySeries Telescopicas Eq0011MSeries Telescopicas Eq0011PSeries Telescopicas Empty. Luego de tanta cancelación, solamente quedan
dos sobrevivientes: los extremos

Series Telescopicas EmptySeries Telescopicas Eq0012MSeries Telescopicas Eq0012PSeries Telescopicas Empty y

Series Telescopicas EmptySeries Telescopicas Eq0013MSeries Telescopicas Eq0013PSeries Telescopicas Empty, que no tienen con quién cancelarse. En definitiva,
nos queda

Series Telescopicas EmptySeries Telescopicas Eq0014MSeries Telescopicas Eq0014PSeries Telescopicas Empty
Si tenemos presente cómo
queda un telescopio al plegarlo o desplegarlo, se entiende la razón por las que
estas sumas se llaman telescópicas.


Para “sentir” esta última
forma, más que recurrir a la memoria (que puede traicionarnos), resulta quizá
más sencillo imaginar las sumas y luego sus cancelaciones.



Ejemplo
1.



Series Telescopicas EmptySeries Telescopicas Eq0015MSeries Telescopicas Eq0015PSeries Telescopicas Empty



es una suma telescópica,
y mirándola en detalle podremos luego cancelar, comprobando que


Series Telescopicas EmptySeries Telescopicas Eq0016MSeries Telescopicas Empty



O
sea:


Series Telescopicas EmptySeries Telescopicas Eq0017MSeries Telescopicas Eq0017PSeries Telescopicas Empty



Ejemplo
2.
Probemos que es
telescópica (aunque de entrada no se note) , la siguiente suma.

Series Telescopicas EmptySeries Telescopicas Eq0018MSeries Telescopicas Empty


Con
una sencilla cuenta comprobamos que



Series Telescopicas EmptySeries Telescopicas Eq0019MSeries Telescopicas Eq0019PSeries Telescopicas Empty,
con lo cual


Series Telescopicas EmptySeries Telescopicas Eq0020MSeries Telescopicas Eq0020PSeries Telescopicas Empty

Series Telescopicas Eq0021MSeries Telescopicas Eq0021PSeries Telescopicas Empty

Series Telescopicas EmptySeries Telescopicas Eq0022MSeries Telescopicas Eq0022PSeries Telescopicas Empty



Así hemos obtenido
prácticamente gratis la fórmula de condensación




Series Telescopicas EmptySeries Telescopicas Eq0023MSeries Telescopicas Eq0023PSeries Telescopicas Empty
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